二次方程式の解の公式はなぜ成り立つ？平方完成から丁寧に導出

二次方程式の解の公式は、丸暗記しようとすると符号や分母を間違えやすい公式です。しかし、平方完成から一度導いてみると、公式の形にはすべて理由があると分かります。

対象レベル：中学3年生〜高校数学の復習

前提知識：移項、分数、平方根、平方完成の基本

読了時間：約8分

二次方程式と解の公式

一般的な二次方程式は、次の形で表されます。

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)

この方程式の解は、次の公式で求められます。

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

ここからは、この形がどこから出てくるのかを平方完成で確かめます。

a x^{2} + b x = - c

a ≠ 0なので、両辺をaで割れます。

x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}

左辺を平方の形にするため、xの係数b／aの半分を2乗したb²／（4a²）を両辺に加えます。

x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} = - \frac{c}{a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}

平方根をとるときは、正負の2通りがあるため±を付けます。厳密には√（4a²）= 2|a|ですが、±の両方を考えるため、解の集合は分母を2aとして表しても同じです。

x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

b／（2a）を右辺へ移し、分母をそろえます。

x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

これで解の公式が導けました。公式は、二次方程式を一般的な文字のまま平方完成した結果です。

a = 2、b = 3、c = −2を公式へ代入します。

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \times 2 \times (- 2)}}{2 \times 2}

= \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{- 3 \pm 5}{4}

したがって、

答えは、x = 1／2、−2です。実際に元の式へ代入すると、どちらも左辺が0になることを確認できます。

根号の中のb² − 4acを判別式と呼び、D = b² − 4acと表します。

実数の範囲では負の数の平方根をとれないため、D ＜ 0なら実数解がありません。複素数まで範囲を広げると、虚数単位iを使って解を表せます。

次の二次方程式を解の公式で解いてください。

3 x^{2} - 5 x - 2 = 0

解答・途中式を表示

a = 3、b = −5、c = −2なので、

x = \frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \times 3 \times (- 2)}}{6} = \frac{5 \pm 7}{6}

したがって、答えはx = 2、−1／3です。

公式を忘れたときも、平方完成の流れを理解していれば形を確認できます。まずは係数の符号を丁寧に書き出し、練習問題で代入手順を身につけましょう。